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浅谈高中数学课标课本“剖析几何”的内容、要求与特点

2021-07-27 00:12上一篇:室内设计中改如何造电路 |下一篇:没有了

本文摘要:“剖析几何”是高中数学的经典内容。回首近二十年的高中数学课程课本革新,1997年前,“剖析几何”单独成册《平面剖析几何》,与《代数》(下册)同时开设,在高二两个学期完成,约50课时(包罗选学内容“参数方程、极坐标”,约14课时)。 1997年后,《全日制普通高级中学数学教学纲领》(以下简称《纲领》)“剖析几何”课本包罗两章内容:“第七章 直线和圆的方程”“第八章 圆锥曲线方程”,以及“研究性学习课题与实习作业 线性计划的实际应用”,共43课时。

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“剖析几何”是高中数学的经典内容。回首近二十年的高中数学课程课本革新,1997年前,“剖析几何”单独成册《平面剖析几何》,与《代数》(下册)同时开设,在高二两个学期完成,约50课时(包罗选学内容“参数方程、极坐标”,约14课时)。

1997年后,《全日制普通高级中学数学教学纲领》(以下简称《纲领》)“剖析几何”课本包罗两章内容:“第七章 直线和圆的方程”“第八章 圆锥曲线方程”,以及“研究性学习课题与实习作业 线性计划的实际应用”,共43课时。《普通高中数学课程尺度(实验)》(以下简称《尺度》)中“剖析几何”内容包罗必修课程·数学2中的“平面剖析几何开端”,选修课程·系列1的选修1-1或系列2的选修2-1中的“圆锥曲线与方程”,以及系列4中的“选修4-5 坐标系与参数方程”。依据《尺度》的要求、课本在编写时的思考以及各地教学的实际情况,本文所说的“剖析几何”只包罗“平面剖析几何开端”和“圆锥曲线与方程”(选修2-1),共34课时。

现在《尺度》把“内容与要求”合在一起写,虽然表述容易,但有些内容不明确,教还是不教,难以掌握,弹性很大。详细到课本的编写,差别版本的课本存在一定的差异。

因此本文首先明确“剖析几何”的主要内容,在此基础上,再谈详细的教学要求,最后概述“剖析几何”课本的主要特点。希望对实验区教师相识课本,举行教学有一定的资助。一、剖析几何的主要内容依据《尺度》和编写《普通高中课程尺度实验教科书·数学》A版时的思考和实践,我们认为“剖析几何”的主要内容是:1.直线与方程直线的倾斜角和斜率。过两点的直线斜率公式。

两条直线平行与垂直的条件。直线的点斜式方程。

直线的斜截式方程。直线的两点式方程。直线的一般式方程。直线的斜截式方程与一次函数。

两条直线的交点坐标。两点间的距离公式。点到直线的距离公式。

两条平行直线间的距离。2.圆与方程圆的尺度方程。圆的一般方程。

直线与圆的位置关系。圆与圆的位置关系。直线与圆的方程的简朴应用。

3.圆锥曲线与方程椭圆及其尺度方程。椭圆的简朴几何性质。双曲线及其尺度方程。

双曲线的简朴几何性质。抛物线及其尺度方程。

抛物线的简朴几何性质。直线与圆锥曲线的位置关系。

曲线与方程、方程与曲线。求曲线的方程。圆锥曲线的简朴应用。

需要说明的是,《尺度》把二元一次不等式表现平面区域、简朴的线性计划及其应用等内容放在《普通高中课程尺度实验教科书·数学5》A版“第二章 不等式”的内容中,强调不等式是描画现实世界不等关系的数学模型、解决优化问题的重要工具之一,突出不等式的应用价值。而这些内容在《纲领》课本第二册(上)的“第七章 直线和圆的方程”中,是直线方程内容的一部门,在直线方程的基础上,引出二元一次不等式、平面区域和线性计划等内容。另外,高中数学课标课本“剖析几何”不包罗两条直线所成的角、圆的参数方程、椭圆的参数方程等内容。

二、剖析几何的教学要求主要内容明确后,下面就是教学要求。教学要求掌握的是否恰当,直接影响课堂教学质量和效益。现在一个普遍的现象是,教学要求偏高,许多学校和教师搞一步到“位”。教学和学习脱离正常的轨道,忽视知识螺旋上升的摆设,违背学生循序渐进的学习纪律,效果学生课业肩负过重,教师“课业”肩负也很重。

剖析几何的教学要求是:1.直线与方程①在平面直角坐标系中,联合详细图形,探索确定直线位置的几何要素。②明白直线的倾斜角和斜率的观点,履历用代数方法描画直线斜率的历程,掌握过两点的直线斜率的盘算公式。③能凭据斜率判断两条直线平行或垂直。④凭据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系。

⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。2.圆与方程①回首确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的尺度方程与一般方程。

②能凭据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系。③能用直线和圆的方程解决一些简朴的问题。

3.圆锥曲线与方程(1)圆锥曲线①相识圆锥曲线的实际配景,感受圆锥曲线在描画现实世界息争决实际问题中的作用。②履历从详细情境中抽象出椭圆、抛物线模型的历程,掌握它们的界说、尺度方程、几何图形及简朴性质。③相识双曲线的界说、几何图形和尺度方程,知道双曲线的有关性质。④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简朴几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题。

⑤通过圆锥曲线的学习,进一步体会数形联合的思想。(2) 曲线与方程联合已学过的曲线及其方程的实例,相识曲线与方程的对应关系,进一步感受数形联合的基本思想。对于《尺度》“说明与建议”部门提到的一些内容,在课本编写历程中,课本做了一定的弹性处置惩罚,一定要掌握好它们的教学要求。

教学中,老师经常说的圆锥曲线的“第二界说”、圆锥曲线的离心率与统一方程,只管是很是经典的内容,但不作为基本的教学要求。思量到它们的意义,椭圆、双曲线的“第二界说”在课本相关部门的例题有所体现,但没有明确给出它们的“第二界说”。

在拓展性栏目“信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹:椭圆”和“信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹:双曲线”虽然给出了上述两种圆锥曲线的“第二界说”,可是作为选学内容。圆锥曲线都是平面上一个动点到一个定点和它到定直线的距离的比是常数的点的轨迹。试想,在平面上给出一个定点和一条定直线(定点不在定直线上),一个动点到这个定点和它到这条定直线的距离的比无非是三种情况:即是1、大于1、小于1,因此它们有统一的界说、统一的方程。

这是一个很是美妙的结论。这个比我们称之为圆锥曲线的离心率,这个界说称之为圆锥曲线的统一界说。

根据圆锥曲线的统一界说,我们可以建设它们的统一方程。在课本中我们摆设了一个拓展性栏目“探究与发现 圆锥曲线的离心率与统一方程”,供学有余力的学生学习参考。可是这些不作为基本要求,属于选学内容,一定要认真掌握。

另外,我们讨论的圆锥曲线的方程都是尺度方程,并使用它们的尺度方程研究它们的性质。非尺度形式的圆锥曲线方程不是现在研究的内容,不要给学生增补这方面的内容。三、剖析几何的主要特点经典的剖析几何内容如何在传统的基础上编出新意,是我们在编写历程中思量最多的一个问题。

这部门内容除全面贯彻本套课本提出的“思想性”“问题性”“联系性”等特点外,还希望通过课本出现方式的革新,推动教师教学方式和学生学习方式的革新,努力编出新意。下面归纳综合的七个主要特点,是我们实验编出新意的几个方面。

1. 明确剖析几何的基本思想方法:剖析法(坐标法);突出用方程研究曲线,用代数方法研究曲线的几何性质;强调整析几何解决问题的法式性和普适性;自始至终贯串曲线与方程、方程与曲线的关系剖析几何的基本思想方法是剖析法(坐标法);突出用方程研究曲线,用代数方法研究曲线的几何性质。在《普通高中课程尺度实验教科书·数学2》A版中首先建设直线、圆这两种平面上最简朴的非关闭图形与关闭图形的方程,然后通过它们的方程,研究它们的几何性质,主要是直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系。

圆锥曲线的发现与研究始于古希腊,其时人们从纯粹几何学的看法研究了这种与圆密切相关的曲线,知道了它们的一些主要几何性质,包罗圆锥曲线的切线、圆锥曲线的光学性质、离心率等等。它们的性质是圆的几何性质的自然推广。可是这种研究,技巧性很强,不是普适的方法。

17世纪初期,笛卡儿发现了坐标系,人们开始在坐标系的基础上,用代数方法研究圆锥曲线,也就是我们常说的剖析几何的基本思想方法:剖析法(坐标法)。这种思想方法的基本特点是法式性和普适性。说其法式性,是指剖析几何解决几何问题的“三步曲”:第一步:建设适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表现问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:把代数运算效果“翻译”成几何结论。

说其普适性,是指一旦确定直线、圆及圆锥曲线的方程,那么它们的主要几何性质,如位置关系、距离、夹角等,原则上可由这些曲线的方程通过代数运算唯一确定息争答。而综正当处置惩罚这些几何性质时,有时需要很强的技巧,“就事论事”。在直线与方程、圆与方程的内容中,我们渗透了曲线与方程、方程与曲线的关系,学生对“曲线与方程”“方程与曲线”有了一定水平的认识。

在这个基础上,《普通高中课程尺度实验教科书·数学 选修2-1》A版中明确提出“曲线与方程”“方程与曲线”的关系。随着椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的学习,通过它们的方程研究它们的简朴几何性质,学生可以不停体会“曲线与方程”“方程与曲线”的关系。

这种关系贯串剖析几何的始终,学生对它的体会,是一个恒久重复的历程。在《普通高中课程尺度实验教科书·数学 选修1-1》A版中虽然没有明确提出“曲线与方程”“方程与曲线”的关系,但在给出每种圆锥曲线的尺度方程之前,都渗透了“曲线与方程”“方程与曲线”的思想。

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从大的规模看,“曲线与方程”“方程与曲线”的关系反映了空间形式与数量关系之间的关系,它用数及其运算为工具,在平面直角坐标系下,用代数方法研究几何问题,是数形联合的重要方面。2.抓住轨迹问题的本质:变化历程中的稳定量,建设轨迹的方程轨迹是由动点运动形成的曲线(或几何图形),其特点是,动点在运动变化历程中,始终有保持稳定的量,由此我们建设轨迹的方程。通过轨迹的方程,判断轨迹的形状,研究轨迹的几何性质。

圆、椭圆、双曲线、抛物线都是动点运动形成的轨迹。动点在运动变化历程中,保持某种“距离”稳定,其中圆是到定点的距离即是定长的点的轨迹,椭圆是到两个定点的距离的和即是定长的点的荟萃,双曲线是到两个定点的距离的差的绝对值即是定长的点的荟萃,抛物线是到定点的距离即是到定直线的距离的点的荟萃。

直线是平面上最简朴的图形之一,两点确定一条直线。只管我们已经知道,一次函数的图象是一条直线,但从剖析几何的角度看,其方程的建设还需要一个历程,我小我私家的感受,比圆、圆锥曲线的方程建设稍显庞大。

从函数的角度出发,我们是由一次函数的剖析式画出它的图象:直线,但它研究的是数量关系,图象是它的直观载体。现在,我们已知直线建设其方程,就要寻求动点在变化历程中的稳定量,这个稳定量不是距离,而是角度。为此,在引入直线的方程前,我们先先容直线的倾斜角和斜率,倾斜角是表现直线倾斜水平的量,斜率进一步把直线的倾斜水平量化。

这样,我们首先建设直线的点斜式方程,在此基础上,再建设直线的两点式、一般式方程。3.先容直线、圆以及三种圆锥曲线时,进一步革新课本的出现方式。注意引入的历程,并对历程举行分析。

在历程的分析中引导学生自主探索,从分析每种曲线的典型几何特征入手,选择适当的平面直角坐标系,建设每种曲线的方程在直线和圆的方程的建设历程中,我们都是由确定直线和圆的几何要素出发,点和直线的倾斜角唯一确定一条直线,定点和定长唯一确定一个圆,把这些几何要素代数化,最后用方程的形式表现出来。三种圆锥曲线的几何特征更显着。在椭圆的学习历程中,我们从圆出发,给出“探究”栏目,通过把细绳的两头离开,让学生视察轨迹的形状,建设与已有知识的联系与区别。

由绘图的历程,探究形成轨迹的动点满足的几何条件,展现曲线的典型几何特征。在此基础上,给出具有这种典型几何特征的轨迹的正式名称:椭圆。

通过视察椭圆的形状,引导学生建设适当的直角坐标系,用点的坐标表现距离,建设椭圆的尺度方程。这种写法,意在突出知识的发生、生长历程,引导学生自主学习探索,既动手又动脑,获得体验。在感性认识的基础上,把详细直观的图形“椭圆”抽象形式化(代数化)为“方程”,形成理性认识。其他两种圆锥曲线:双曲线与抛物线,虽然它们的几何特征与椭圆差别,但其引入历程以及尺度方程的建设历程,都是与椭圆相类比展开的。

4.在三种圆锥曲线的简朴几何性质的研究中,从直观入手,用代数方法研究它们的几何性质,注意代数方法与几何直观相联合直线和圆的几何性质比力简朴,主要是用它们的方程研究直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系。而对圆锥曲线的简朴几何性质给予了更多的关注。圆锥曲线的简朴几何性质主要包罗:圆锥曲线的规模、对称性、极点、离心率、渐近线等。

无论是从几何直观的角度看,还是用代数方法研究,圆锥曲线的规模、对称性、极点的研究都比力容易。圆锥曲线的离心率,双曲线的渐近线相对庞大。抛物线比力特殊,它是离心率为1的圆锥曲线,是直接用离心率界说的一种圆锥曲线。对椭圆、双曲线离心率的研究,方法有所差别。

对椭圆离心率的研究是,首先从直观入手,让学生视察两组扁平水平纷歧的椭圆,提出问题“用什么量描画椭圆的扁平水平呢?”再让学生思考,然后给出椭圆离心率的界说。这种方式,首先使学生对离心率有一个直观的印象,然后对离心率的观点有越发深入的认识。这种处置惩罚方式可以从差别的角度,用差别的量描画椭圆的扁平水平。

类比椭圆离心率的观点,对双曲线离心率的研究,我们首先直接给出双曲线离心率的观点,然后提出问题“椭圆的离心率可以描画椭圆的扁平水平,双曲线的离心率描画双曲线的什么几何特征?”,让学生思考。联合几何直观,以及,两个量,可以发现,双曲线的离心率可以用来描画双曲线“张口”的巨细。

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在教学中,对双曲线渐近线的研究,是重点,也是难点。从直观上看,双曲线的两支是向外无限延伸的,始终在渐近线形成的一组对顶角中,不会越过它的渐近线。课本通过“信息技术应用”栏目,让学生通过视察,发现双曲线的这一性质。

在正文中没有给出严格的证明。在拓展性栏目“探究与发现 为什么是双曲线的渐近线”给出了严格的证明,但不必作为教学要求。渐近线的观点比力抽象,学生对它的明白需要一个历程。

5.增强差别知识内容的联系性,从差别角度看待同一数学内容,感受数学的整体性(1)曲线与方程和函数与图象之间的关系曲线与方程、函数与图象是两类差别的研究工具,它们之间有一定的联系,也存在一定的区别。直线的斜截式方程虽然与一次函数的形式是一致的,都体现了数形联合,可是它们反映的是直线的差别侧面。

一次函数的图象是直线,函数研究的是两个数集之间的对应关系,它的出发点是数集和对应规则;直线的方程是二元一次方程,可以表现为一次函数的形式,它的出发点是直线这个图象,我们寻求它的代数表现:方程。从外延来讲,方程的观点很宽泛,函数的剖析式都可以表现为方程的形式;从内在来说,函数的内在很是富厚,方程纷歧定是函数。在《普通高中课程尺度实验教科书·数学 选修2-1》A版中的“圆锥曲线与方程”一章摆设了选学内容“探究与发现 为什么二次函数的图象是抛物线”。

对抛物线来说,作为一类几何工具,它具有典型的几何特征;同时也是二次函数的直观载体。只管是差别的研究工具,可是这个“探究与发现”展现了两类差别研究工具之间的关系。抛物线是曲线(或图象),我们既可以从函数(或分段函数)的角度研究它,也可以从方程的角度研究它。

可是两者之间是有区此外,函数是非空数集之间的一种对应关系,体现的是一种数量关系,图象是函数的一种体现形式;而方程是从曲线的几何特征出发,建设的曲线几何特征的代数关系表达式,用方程研究曲线,是剖析几何的思想。最后,对于型的二次函数(或抛物线)来说,我们可以运用导数这个工具,通过建设型的二次函数的切线方程,严格证明它的光学性质:“从抛物线的焦点发出的光线,经由抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴,反之亦然。”(2)线性回归与直线的方程当统计中两个有关联变量的数据以散点图的形式出现在平面直角坐标系中时,这些散点之间具有一定的相关关系。

如果这些散点近似在一条直线四周,我们说这些散点具有线性相关关系。只管这种相关关系是不确定的,但它们可以用确定的直线方程举行回归。这时我们建设了变量之间的相关关系与确定的直线方程之间的联系。进一步说,建设了统计与剖析几何之间的联系,这种联系能够使学生体会到直线方程的详细应用。

(3)线性计划与直线的方程线性计划的内容已往经常摆设在直线的方程中,作为直线方程内容的延伸和拓展。现在《尺度》把用二元一次不等式表现平面区域、简朴的线性计划等内容放在《普通高中课程尺度实验教科书·数学5》A版“第二章不等式”中,强调二元一次不等式是描画现实世界不等关系的数学模型,是处置惩罚优化问题的重要工具之一。我们知道,二元一次不等式是点的荟萃。

我们由二元一次不等式的形式自然遐想到二元一次方程,二元一次方程也是点的荟萃,而且这些点在一条直线上。因此,二元一次不等式表现的点自然在这条直线之外。实际上,二元一次不等式表现的是平面上的区域。在确定二元一次不等式表现平面区域时,我们应首先建设与二元一次不等式对应的二元一次方程表现的直线。

这样,线性计划表现的不等关系与直线方程表现的相等关系精密地联系在一起。6.实例富厚,注重实际配景和应用本套课本一个鲜明的特点是“讲配景、讲思想、讲应用”,剖析几何也不破例也不破例。特别是圆锥曲线进一步增强了现实生活的联系。

实际上,圆锥曲线很早就与人类生活、生产以及科研有着精密的联系。在章引言中,说明三种圆锥曲线都是用不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥面获得的。改变截面与圆锥轴线的夹角,可以获得椭圆、双曲线、抛物线。

这种引入,目的是使学生相识“圆锥曲线”名称的由来。另外在课本的正文中,还多次提到行星运行轨道、发电厂冷却塔的外形、抛物运动轨迹、探照灯的镜面等等。

在课本的拓展性栏目中,我们还摆设了“探究与发现 为什么截口曲线是椭圆”“阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用”(这些内容很是有趣,运用导数可以给出严格的证明)等。摆设大量的实例,注重实际配景和应用的目的是让学生感受圆锥曲线在描画现实世界息争决实际问题中的重要作用。7.重视信息技术工具的作用信息技术工具在剖析几何的学习中有较大的支持作用,发挥的空间也较辽阔。

在课本中,我们摆设了许多“信息技术应用”的内容。(1)使用信息技术工具向学生演示平面截圆锥的历程,通过改变截面与圆锥轴线的夹角,得出差别的圆锥曲线。

信息技术工具的使用可以加深学生对圆锥曲线的直观认识。(2)运用信息技术工具的“运动变化历程中保持几何关系稳定”的特点,很是容易探索动点轨迹的形状。一方面,信息技术工具为我们缔造了一个实验、发现、料想的情况,在动态演示中,视察轨迹形成的原因、轨迹的形状,发现结论、形成料想;另一方面,当我们求出轨迹的方程后,可以用信息技术工具资助我们举行直观验证轨迹的形状,加深对方程所表现的曲线形状的明白。

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